Monday, August 08, 2005

Division de polinomios

PREGUNTAS Y TEMAS A INVESTIGAR:

Aplicaciones

Temas que se necesitan para el juego

División de polinomios:

a. Caso general

b. Aplicando el método de los coeficientes separados.

c. Aplicando el método de Horner

d. Método de Ruffini: casos

e. Teorema del resto o Descartes

f. Cocientes notables:

Casos

Propiedades de los cocientes notables

g. Factorización:

Casos:

Factor común monomio

Factor común polinomio

Por agrupación de términos

Diferencia de cuadrados

Suma de cubos

Diferencia de cubos

Trinomios de segundo grado:

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2+bx+c: método del aspa

Trinomio de la forma ax2+bx+c; (a¹1)

Polinomio primo o irreductible

Trinomio por suma y resta (Quita y Pon)

Empleando aspa doble

Empleando el método de los divisores binomios

Máximo común divisor

Mínimo común múltiplo

Características de un buen juego

Programas para elaborar juegos

Materiales a utilizar.

División de polinomios

1. Casos comunes

♣ División de los monomios

○ Se aplica la regla de los signos en la división de signos.

+

-

=

-

+

+

=

+

-

-

=

+

○ Se dividen los coeficientes de las variables iguales.

○ Se dividen las letras aplicando teoría de exponentes.

Ejemplo:

Dividir:

Efectuando tenemos: S = -8x3 y2 z2

♣ División de un Polinomio por un Monomio

♣ Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio.

♣ Separando los coeficientes parciales en sus propios signos.

Ejemplo:

Dividir:

♣ Dividiendo cada término del dividendo entre el divisor, tenemos:




Efectuando tenemos:

K = 9 x2 y2 – 5x4 y4 z2 + 11x10 y7 z4

♣ División de los Polinomios

♠ En este caso se pueden usar cualquiera de los siguientes métodos :

1. Método clásico o normal

Para dividir mediante este método se debe seguir los siguientes pasos:

♣ Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.

♣ Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.

♣ Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.

♣ Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.

♣ Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el segundo término del cociente.

♣ Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.

Ejemplo:

Hallar el cociente en la siguiente división:

Solución:

♣ Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma siguiente:

6x5 – 21x4 – 13x3 + 25x2 – 12x + 7

3x4 + 0x3 + 0x2 – 2x + 1

- 6x5 – 0x4 – 0x3 + 4x2 – 2x

2x - 7

-21x4 – 13x3 + 29x2 – 14x + 7

21x4 + 0x3 + 0x2 – 14x + 7

-13x3 + 29x2 – 28x + 14

Donde:

Cociente ( q ) = 2x – 7

Residuo ( r ) = -13x3 + 29x2 – 28x + 14

2. Método de Coeficientes Separados

En este caso, además de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta:

♣ Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.

♣ En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.

♣ De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.

♣ Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades:

q° = D° - d

r° = d – 1

Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo: Efectuar la siguiente división :


Solución: Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.

Luego :

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7

3 – 1 + 1

- 6 + 2 – 2

2 – 6 - 7 + 8

- 18 – 15 + 25

18 – 6 + 6

-21 + 31 – 12

+21 – 7 + 7

24 – 5 + 7

-24 + 8 – 8

+ 3 - 1

El cociente ( q ) es de grado : q° = D° - d° = 5 – 2 = 3

\ El cociente es q = 2x3 – 6x2 – 7x + 8

el de grado : r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1

El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

3. Método de Horner

Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

Procedimiento:

♣ Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo

♣ Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.

♣ El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.

♣ Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.

♣ Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.

♣ Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.

♣ Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.

♣ Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.

Ejemplo:

Efectuar la división poli nómica expresada por:

Solución:

Los grados del cociente y residuo serán :

q° = D° - d° = S – 2 = 3

r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1

Procedimiento:

Columna

Cocientes del dividendo

12

- 4

+ 8


Fila

4

8

+ 14

+ 5

+16

+ 3

+ 2

Coeficiente que si se les cambia de signo

-1

-2

- 6

-3

- 3

- 9

+ 1

+ 3

- 2

- 6

2

3

- 1

2

4

- 4

Coeficiente del cociente

Coeficiente del resto

4. Método de Ruffini

Esta regla, es un caso particular del método de Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas:

x ± b; ax ± b y axn ± b

Se estudian 3 casos:

♠ Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

Forma general : x ± b . se opera así :

♣ Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;

♣ Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;

♣ Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.

Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

Ejemplo:

Obtener el cociente y el resto en la división:

Solución:

♣ Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que faltan):

q° = D° - d° = 5 – 1 = 4

r° = d° - 1 = 1 – 1 = 0

Cocientes del dividendo

2

0

1

0

3

2

- 1

- 2

2

- 3

3

- 6

2

- 2

3

- 3

6

- 4

Resto

Coeficiente del cociente

Termino Independiente del divisor con signo cambiado

Entonces: Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3x + 6 (cociente obtenido)

R(x) = 4 (residuo obtenido)

♠ Cuando el divisor es de la forma: axn + b

♣ En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.

Ejemplo:

Hallar el cociente y el resto en:

Solución:

Observamos que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente del divisor (9), por lo tanto, se puede aplicar el método.

Haciendo:

x9 = y, la división es:

3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

6

+ 17

- 16

+ 17

+ 12

-1/3

- 2

- 5

7

- 8

6

+ 15

- 21

+ 24

4

Cociente primario:

6y3 + 15y2 – 21y + 24

Simplificando tenemos (dividiendo entre 3) :

2y3 + 5y2 – 7y + 8

Reemplazando:

y = x9 , el cociente será :

2x27 + 5x18 – 7x9 + 8

Y de residuo o resto, tenemos:

R = 4

Hecha por: Jose Luis Carrillo Rigofrio, Proporcionada por www.monografias.com, Productos Notables, visitada el 09/08/05, disponible en:

http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DIVIS

5. Teorema del resto

Teorema del residuo


P r o c e d i m i e n t o

1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b".

Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma:

Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene, simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a.


Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:


Proporcionada por usuarios lycos, teorema del residuo, visitada el 09/08/05, disponible en:

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id100.htm

Productos Notables

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

(X+y)2=x2+2(x)(y)+y2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

(X-y)2=x2-2(x)(y)+y2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda.

(x+y)(x-y)=x2-y2

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2++y3

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

(x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3

Proporcionada por www.memo.com.cd, Productos y Cocientes notables, visitadael09/08/05, disponible en: http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html

Cocientes Notables

a) Primer caso: (an +bn) ÷ (a + b)
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un numero impar.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x5 + y5) ÷ (x + y)

Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x5-1 = x4
A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x3), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x3y
Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x5 + y5) ÷ (x + y) = x4 -x3b + x2y2 -xy3 +y4

b) Segundo caso: (an -bn) ÷ (a - b)
En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un numero par o impar.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x6 - y6) ÷ (x - y)

La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).

(x6 + y6) ÷ (x + y) = x 5 +x4b + x3y2 +x2y3 +xy4+y5

c) Tercer caso: (an -bn) ÷ (a + b)
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un numero par.

Veamos entonces el siguiente ejemplo: (x4 - y4) ÷ (x + y)

Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x4-1 = x3
A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x2), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x2y
Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

(x4 - y4) ÷ (x + y) = x3 -x2b + xy2 -y3

Proporcionada por www.20brinkster.com, visitada el 09/08/05, disponible en:

http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm

Casos de factorización

Caso 1 - Factor común

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Caso 2 - Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción o Metodo del Quita y Pon

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma

x2+bx+c

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.
° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.


Caso 7 - Trinomio de la forma

ax2+bx+c

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

x2+bx+c

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

° Posee cuatro términos
° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).
° El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
° El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.
° Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.


Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente:

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2)

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+ an-2b2+….+abn-1+bn)

Para an-bn con n = par la factorización será:

an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+ an-2b2-….-abn-1+bn)

Para an+bn con n = impar la factorización será:

an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+ an-2b2-….-abn-1+bn)

Proporcionada por www.memo.com.cd, Productos y Cocientes notables, visitadael09/08/05, disponible en: http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html

Polinomio primo o irreducible: es aquel polinomio que no es posible factorizarlo-

Factorización de Trinomios por método del aspa simple

El método del aspa simple, se emplea para trinomios (polinomios de tres términos) de la forma siguiente:

Ax2n + Bxn + C o Ax2m + Bxmyn + Cy2n

* En ambos casos, A, B, C, m, n son números reales diferentes de cero (0).

Veamos el siguiente ejemplo:

8x2 -2x -3

Tenemos un trinomio de la primera forma.

8x2 -2x -3

Ahora jugaremos con los números. Se busca dos números que multiplicados den por resultado 8, y otros dos números que multiplicados den por resultado -3.

8x2 -2x -3
4x -3
2x 1
8x2 -3

Hemos escogido los números 4 y 2, de manera que (4x)(2x) = 8x2, además hemos escogido los números -3 y 1, de manera que (-3)(1) = -3

8x2 -2x -3
4x -3
2x 1

Ahora debemos verificar si cumplen una condición adicional. Para esto, primero debemos multiplicar en aspa los números que ya tenemos, es decir, (4x)(1) y (2x)(-3)

8x2 -2x -3
4x -3 -6x
2x 1 +4x
8x2 -3 -2x

Una vez obtenidos los resultados parciales: (4x)(1) = 4x, y (2x)(-3) = -6x, procedemos a sumarlos o restarlos según corresponda y el resultado de esta operación deberá ser el término de primer grado, en este caso, -2x.

8x2 -2x -3
(4x -3) -3x
(2x 1) +1x
8x2 -3 -2x

Como esta cumpliendo con todas las condiciones, procedo a seleccionar los dos factores. Es decir, en este ejercicio en particular:

8x2 -2x -3 = (4x -3)(2x +1)

• Empleando aspa doble

• Máximo común divisor

Máximo común divisor de polinomios por descomposición en factores

Procedimiento

1. Se factoriza cada polinomio

2. Se identifican los factores comunes

3. El m.c.d. será el producto de los factores comunes

Hallar, por descomposición en factores, el m.c.d. de:

Máximo común divisor de dos polinomios por divisiones sucesivas

Procedimiento

1. Se ordenan los polinomios con relación a una misma letra

2. Si es posible, se factorizan los polinomios; los factores comunes a ambos polinomios harán parte del m.c.d.

3. Se divide el polinomio de mayor grado entre el de menor grado

4. Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.

5. Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta

6. El último divisor es el m.c.d. buscado

Nota1: todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término del residuo se de grado inferior al primer término del divisor

Nota2: durante el proceso, se puede dividir o multiplicar el dividendo, o el divisor o el residuo por un factor cualquiera.

Nota3: la simbología para denotar el m.c.d., k, de los números a, b, ... es la siguiente:

(a, b, ...) = k.

Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de:

Máximo común divisor de tres o más polinomios por divisiones sucesivas

Procedimiento

1. Se halla, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de dos de los polinomios dados

2. Hallamos, por divisiones sucesivas, el m.c.d. del tercer polinomio y el m.c.d. hallado en el paso anterior; éste será el m.c.d. de los tres polinomios.

Para hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. entre dos polinomios, se procede de la siguiente manera:

a. Se ordenan los polinomios con relación a una misma letra

b. Si es posible, se factorizan los polinomios; los factores comunes a ambos polinomios harán parte del m.c.d.

c. Se divide el polinomio de mayor grado entre el de menor grado

d. Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.

e. Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta

f. El último divisor es el m.c.d. buscado

Nota1: todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término del residuo se de grado inferior al primer término del divisor

Nota2: durante el proceso, se puede dividir o multiplicar el dividendo, o el divisor o el residuo por un factor cualquiera.

Nota3: la simbología para denotar el m.c.d., k, de los números (polinomios) a, b, ... es la siguiente:

(a, b, ...) = k.

Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de:

• Mínimo común múltiplo

Mínimo común múltiplo

M.C.M. de polinomios

P r o c e d i m i e n t o

1. Se halla el M.C.M. de los coeficientes numéricos

2. Se factorizan los polinomios

2. El M.C.M. se calcula mediante el producto de los factores primos, comunes y no comunes, y con su mayor exponente

Hallar el M.C.M. de:

Proporcionado por usuarios lycos, Minimo comun Multiplo, visitada el 09/08/05, disponible en:

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id154.htm

Ejercicios:

Ejercicio: Factoriza completamente los siguientes polinomios:

1) a2b - ab2 =

2) 6p2q + 24pq2 =

3) 12x3y - 48x2y2 =

4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn=

7) x2 - 8x + 16 =

8) 16y2 + 24y + 9 =

9) 36a2 - 12a + 1 =

10) 4x2 + 20xy + 25y2 =

11) 16x2 - 25y2 =

12) 144 - x2y2 =

13) 36 - 25a2 =

14) 25 - 4a2 =

15) 16m2n2 - 9p2 =

16) x2 - 4x + 3 =

17) x2 - 2x - 15 =

18) x2 - 7xy - 18y2 =

19) 12 - 4x - x2 =

20) 5x2 - 11x + 2 =

21) 6x2 - 7x - 5 =

22) 12x2 + 17x - 5 =

23) 7u4 - 7u2v2 =

24) kx3 + 2kx2 - 63kx =

25) 5x3 - 55x2 + 140x =

26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 =

27) 7hkx2 + 21 hkx + 14hk =

28) wx2y - 9wxy + 14wy =

29) 2x3 + 10x2 + x + 5

30) px + py + qx + qy =

31) 3x3 + 12x2 - 2x - 8

32) 3x3 + 2x2 + 12x + 8 =

33) x3 – 27 =

34) 125x3 + y3 =

35) 8y3 + z 3 =

36) 64 – y3 =

Respuestas:

1) ab(a - b)

2) 6pq(p + 4q)

3) 12x2y(x - 4y)

4) 9mn(m + 2n - 3)

7) (x - 4)2

8) (4y + 3)2

9) (6a - 1)2

10) (2x + 5y)2

11) (4x - 5y)(4x + 5y)

12) (12 + xy)(12 - xy)

13) (6 + 5a)(6 - 5a)

14) (5 + 2a)(5 - 2a)

15) (4mn + 3p)(4mn - 3p)

16) (x - 3)(x - 1)

17) (x - 5)(x + 3)

18) (x - 9y)(x + 2y)

19) (6 + x)(2 - x)

20) (5x - 1)(x - 2)

21) (3x - 5)(2x + 1)

22) (4x -1)((3x + 5)

23) 7u2(u2 - v2) = 7u2(u + v)(u - v)

24) kx(x2 + 2x -63) = kx(x + 9)(x - 7)

25) 5x(x2 - 11x +28) = 5x(x - 4)(x - 7)

26) 4m2(n2 + 6n - 7) = 4m2(n + 7)(n - 1)

27) 7hk(x2 + 3x + 2) = 7hk(x + 1)(x +2)

28) wy(x2 - 9x + 14) = wy(x - 2)(x - 7)

29) (2x2 + 1)(x + 5)

30) (p + q)(x + y)

31) (3x2 – 2)(x + 4)

32) (x2 + 4)(3x + 2)

33) (x – 3)(x2 + 3x + 9)

34) (5x + y)(25x2 – 5xy + y2)

35) (2y +z)(4y2 – 2yz + z2)

36) (4 – y)(16 + 4y + y2)

Factorización de polinomios, visitada el 09/08/05, disponible en:

http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/factorw.htm